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4.如图,PA为⊙O的切线,A为切点,直线PO交⊙O于点M、N,过点A作PO的垂线AB,垂足为C,变⊙O于点B,延长BO与⊙O交于点D,连接AD、BM.
(1)等式OD2=OC•OP成立吗?若成立,请加以证明;若不成立,请说明理由.
(2)若AD=6,tan∠M=$\frac{1}{2}$,求sin∠D的值.

分析 (1)连接OA,由切线的性质得出∠OAP=∠ACO=90°,证出△OAC∽△OPA,得出对应边成比例,即可得出结论;
(2)连接BN,由三角函数得出$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{2}$,设BN=x,BM=2x,由勾股定理得出MN=$\sqrt{B{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$x,由三角形面积得出BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x,得出AB=2BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x,在Rt△ABD中,由勾股定理得出方程,解方程求出BD、AB的长,即可得出结果.

解答 解:(1)等式OD2=OC•OP成立;理由如下
连接OA,如图1所示:
∵PA为⊙O的切线,A为切点,过点A作PO的垂线AB,垂足为C,
∴∠OAP=∠ACO=90°,
∵∠AOC=∠POA,
∴△OAC∽△OPA,
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OA}$,
即OA2=OC•OP
∵OD=OA,
∴OD2=OC•OP;
(2)连接BN,如图2所示:
则∠MBN=90°.
∵tan∠M=$\frac{1}{2}$,
∴$\frac{BN}{BM}$=$\frac{1}{2}$,
∴设BN=x,BM=2x,
则由勾股定理,得
MN=$\sqrt{B{N}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$x,
∵$\frac{1}{2}$BM•BN=$\frac{1}{2}$MN•BC,
∴BC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x,
又∵AB⊥MN,
∴AB=2BC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x,
∴Rt△ABD中,BD=MN=$\sqrt{5}$x,
AD2+AB2=BD2
∴62+($\frac{4\sqrt{5}}{5}$x)2=($\sqrt{5}$x)2
解得:x=2$\sqrt{5}$,
∴BD=$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=10,AB=8,
∴sin∠D=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$.

点评 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识;熟练掌握切线的性质,证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键.

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