Question

已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB＋∠MON＝180°．

(1)利用图1，求证：PA＝PB；

(2)如图2，若点C是AB与OP的交点，当S_△POB＝3S_△PCB时，求PB与PC的比值；

(3)若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)在OB上截取OD＝OA，连接PD，

　　∵OP平分∠MON，

　　∴∠MOP＝∠NOP．

　　又∵OA＝OD，OP＝OP，

　　∴△AOP≌△DOP．　1分

　　∴PA＝PD，∠1＝∠2．

　　∵∠APB＋∠MON＝180°，

　　∴∠1＋∠3＝180°．

　　∵∠2＋∠4＝180°，

　　∴∠3＝∠4．

　　∴PD＝PB．

　　∴PA＝PB．　2分

　　(2)∵PA＝PB，

　　∴∠3＝∠4．

　　∵∠1＋∠2＋∠APB＝180°，且∠3＋∠4＋∠APB＝180°，

　　∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4．

　　∴∠2＝∠4．

　　∵∠5＝∠5，

　　∴△PBC∽△POB．

　　∴．　5分

　　(3)作BE⊥OP交OP于E，

　　∵∠AOB＝60⁰，且OP平分∠MON，

　　∴∠1＝∠2＝30°．

　　∵∠AOB＋∠APB＝180°，

　　∴∠APB＝120°．

　　∵PA＝PB，

　　∴∠5＝∠6＝30°．

　　∵∠3＋∠4＝∠7，

　　∴∠3＋∠4＝∠7＝(180°30°)÷2＝75°．

　　∵在Rt△OBE中，∠3＝60⁰，OB＝2

　　∴∠4＝15⁰，OE＝，BE＝1

　　∴∠4＋∠5＝45⁰，

　　∴在Rt△BPE中，EP＝BE＝1

　　∴OP＝　8分