【题目】如图在正方形ABCD中,点M为BC边上一点,BM=4MC,以M为直角顶点作等腰直角三角形MEF,点E在对角线BD上,点F在正方形外EF交BC于点N,连CF,若BE=2,S△CMF=3,则MN=_____.
【答案】
【解析】分别过点E、F作EP⊥BC,FQ⊥BC,垂足分别为P、Q,
∴∠BPE=∠EPM=∠FQM=∠FQN=90°,∴EP//FQ,
∴∠PEM+∠EMP=90°,
∵∠EMP+∠QMF=∠EMF=90°,
∴∠PEM=∠QMF,
又∵ME=MF,∴△PEM≌△QMF,∴PE=MQ,PM=FQ,
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DBC=45°,∵∠BPE =90°,∴∠BEP=45°=∠EBP,
∴BP=PE=BE=,
∴BM=+PM=+FQ,
∵BM=4CM,S△CMF==3,
∴FQ=3,
∴PQ=PM=MQ=3-=2,
∵EP//FQ,∴△EPN∽△FQN,∴EP:FQ=PN:NQ,
即::3=(2-NQ):NQ,
∴NQ=,
∴MN=NQ+MQ=+=,
故答案为:.
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【题目】如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB=AC,BD是⊙O的直径,PA∥BC,与DB的延长线交于点P,连接AD.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若AB=,BC=4,求AD的长.
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【题目】如图,直线y=x+b分别交x轴、y轴于点A、C,点P是直线AC与双曲线y=在第一象限内的交点,PB⊥x轴,垂足为点B,且OB=2,PB=4.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求△APB的面积;
(3)求在第一象限内,当x取何值时一次函数的值小于反比例函数的值?
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【题目】甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案.
甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)的关系如图所示.
乙公司方案:绿化面积不超过1000平方米时,每月收取费用5500元;绿化面积超过1000平方米时,超过的部分每月每平方米加收4元.
(1)求如图所示的y与x的函数表达式;
(2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米.那么选择哪家公司的服务比较划算.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图2,CE∥x轴与抛物线相交于点E,点H是直线CE下方抛物线上的动点,过点H且与y轴平行的直线与BC,CE分别相交于点F,G,试探究当点H运动到何处时,四边形CHEF的面积最大,求点H的坐标;
(3)若点K为抛物线的顶点,点M(4,m)是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点P,Q,使四边形PQKM的周长最小,求出点P,Q的坐标.
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【题目】江津区某玩具商城在“六一”儿童节来临之际,以49元/个的价格购进某种玩具进行销售,并预计当售价为50元/个时,每天能售出50个玩具,且在一定范围内,当每个玩具的售价平均每提高0.5元时,每天就会少售出3个玩具。
(1)若玩具售价不超过60元/个,每天售出玩具总成本不高于686元,预计每个玩具售价的取值范围;
(2)在实际销售中,玩具城以(1)中每个玩具的最低售价及相应的销量为基础,进一步调整了销售方案,将每个玩具的售价提高了%,从而每天的销售量降低了%,当每天的销售利润为147元时,求a的值.
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【题目】二次函数y=+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c>3b;(3)8a+7b+2c>0;(4)若点A(﹣3,)、点B(,)、点C(,)在该函数图象上,则<<;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为和,且<,则<﹣1<5<.其中正确的结论有( ).
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
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【题目】如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;
(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=a 时,P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示).
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