Question

7．如图，直线AB经过x轴上的点M，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象相交于点A（1，8）和B（m，n），其中m＞1，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P．
（1）求k的值；
（2）若AB=2BM，求△ABD的面积；
（3）若四边形ABCD为菱形，求直线AB的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；
（2）由平行线分线段成比例可求得AP与AC的比例，从而可求得B点的坐标，则可求得BD的长，利用三角形面积公式可求得△ABD的面积；
（3）由菱形的性质可用B点坐标表示出P点坐标，再结合PA=PC可求得m、n的值，即可求得B点坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式．

解答 解：
（1）把A（1，8）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=8；
（2）∵A（1，8），B（m，n），
∴AP=8-n，AC=8，
∵AB=2BM，
∴$\frac{AB}{AM}$=$\frac{2}{3}$，
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴BP∥CM，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{AB}{AM}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{8-n}{8}$=$\frac{2}{3}$，解得n=$\frac{8}{3}$，
把B（m，$\frac{8}{3}$）代入反比例函数解析式可得m=3，
∴BD=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AP=$\frac{1}{2}$×3×（8-$\frac{8}{3}$）=8；
（3）∵四边形ABCD为菱形，
∴BP=DP，
∴点P坐标为（$\frac{1}{2}$m，n），
∵PA=PC，
∴P（1，4），
∴$\frac{1}{2}$m=1，n=4，
∴m=2，n=4，
∴B（2，4），
设直线AB解析式为y=sx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=2k+b}\\{8=k+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-4x+12．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、菱形的性质、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）、（3）中求得B点坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．