Question

3．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、CF，联结BE并延长交CF于点G
下列结论：①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S_△ABC=S_△ACF+S_△DCF；④若BD=2DC，则GF=3EG．
其中正确的结论是①②③．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 ①由△ABC是等边三角形，得出∠BAC=∠ACB=60°，即可证得△DEC是等边三角形，得出∠DEC=∠AEF=60°，证得△AEF是等边三角形，再由SAS证得△ABE≌△ACF；
②由△ABC与△DEC都是等边三角形，得出∠ABC=∠FDC=60°，证得AB∥DF，再由△ABC与△AEF都是等边三角形，得出∠EAF=∠ACB=60°，证得AB∥AF，
得出四边形ABDF是平行四边形即可；
③由△ABE≌△ACF，得出BE=CF，S_△ABE=S_△ACF，再由SSS证得△BCE≌△DCF，得出S_△BCE=S_△DCF，即可得出结论；
④证明△BDE∽△FGE，得$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，由此即可得出结论．

解答 解：①∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵DE=DC，
∴△DEC是等边三角形，
∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，
∵EF=AE，
∴△AEF是等边三角形，
∴AF=AE，∠EAF=60°，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAE=∠CAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
故①正确；
②∵△ABC与△DEC都是等边三角形，
∴∠ABC=∠FDC=60°，
∴AB∥DF，
∵△ABC与△AEF都是等边三角形，
∴∠EAF=∠ACB=60°，
∴AB∥AF，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=BC，
故②正确；
③∵△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，S_△ABE=S_△ACF，
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DF}\\{CE=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF（SSS），
∴S_△BCE=S_△DCF，
∴S_△ABC=S_△ABE+S_△BCE=S_△ACF+S_△DCF，
故③正确；
④正确．∵△BCE≌△FDC，
∴∠DBE=∠EFG，
∵∠BED=∠FEG，
∴△BDE∽△FGE，
∴$\frac{BD}{FG}$=$\frac{DE}{EG}$，
∴$\frac{FG}{EG}$=$\frac{BD}{DE}$，
∵BD=2DC，DC=DE，
∴$\frac{FG}{EG}$=2，
∴FG=2EG，
故④错误；
综上所述，正确的结论是：①②③．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、平行线的判定、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握与灵活应用这些知识是解决问题的关键．