Question

7．如图．抛物线y=x²一2x-8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为抛物线的顶点，E为第一象限的抛物线上一点．且DE为△ADE的外接圆的直径，AD交y轴于F．
（1）求点F的坐标；
（2）求点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求得抛物线与x轴、y轴的交点，然后利用配方法求得D的坐标，再利用待定系数法求得AD的解析式，令x=0求得E的坐标；
（2）根据AE⊥AD，则AE的解析式即可求得，然后解AE的解析式与二次函数解析式组成的方程组求解．

解答 解：（1）在y=x²-2x-8中令y=0，解得x=-2或4，
则A的坐标是（-2，0），B的坐标是（4，0），
在y=x²-2x-8=（x-1）2-9，
则D的坐标是（1，-9）．
设AD的解析式是y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{k+b=-9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
则直线AD的解析式是y=-3x+6．
令x=0，解得y=-6，
则F的坐标是（0，-6）；
（2）设经过点A且与AD垂直的直线的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+c，
则-$\frac{2}{3}$+c=0，
解得：c=$\frac{2}{3}$，
则AE的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
根据题意得：$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$=x²-2x-8，
解得：x=-2或$\frac{13}{3}$，
则E的横坐标是$\frac{13}{3}$，
把x=$\frac{13}{3}$代入y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$得y=$\frac{19}{9}$．
则E的坐标是（$\frac{13}{3}$，$\frac{19}{9}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及直线垂直的条件，两直线互相垂直，则对应的解析式中一次项系数互为负倒数．