Question

15．【发现证明】
如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，试判断BE，EF，FD之间的数量关系．
小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，通过证明△AEF≌△AGF；从而发现并证明了EF=BE+FD．
【类比引申】
（1）如图2，点E、F分别在正方形ABCD的边CB、CD的延长线上，∠EAF=45°，连接EF，请根据小聪的发现给你的启示写出EF、BE、DF之间的数量关系，并证明；
【联想拓展】
（2）如图3，如图，∠BAC=90°，AB=AC，点E、F在边BC上，且∠EAF=45°，若BE=3，EF=5，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，根据勾股定理有FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；根据全等三角形的性质得到FG=EF，利用勾股定理可得CF．

解答 解：（1）DF=EF+BE．
理由：如图1所示，∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上，
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD，
∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△GAF，
∴EF=FG，
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE；

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°得△ACG，连接FG，如图2，
∴AG=AE，CG=BE，∠ACG=∠B，∠EAG=90°，
∴∠FCG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，
∴FG²=FC²+CG²=BE²+FC²；
又∵∠EAF=45°，
而∠EAG=90°，
∴∠GAF=90°-45°，
在△AGF与△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EA=GA}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF=FG，
∴CF²=EF²-BE²=5²-3²=16，
∴CF=4．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质的应用，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．