Question

已知抛物线y = x²－2x + m－1与x轴只有一个交点，且与y轴交于A点，如图，设它的顶点为B．
（1）求m的值；
（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证：△ABC是等腰直角三角形；
（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C′，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，如图．请在抛物线C′上求点P，使得△EFP是以EF为直角边的直角三角形．

Answer 1

（1）∵抛物线y = x²－2x + m－1与x轴只有一个交点，∴△=（－2）²－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2．
（2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x²－2x + 1，易得顶点B（1，0），当 x = 0时，y = 1，得A（0，1）．
由 1 = x²－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则CD = 1，BD = x_D－x_B = 1．
∴在Rt△CDB中，∠CBD = 45°，BC =．
同理，在Rt△AOB中，AO =" OB" = 1，于是∠ABO = 45°，AB =．
∴∠ABC = 180°－∠CBD－∠ABO = 90°，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形．
（3）由题知，抛物线C′ 的解析式为y = x²－2x －3，当 x = 0时，y =－3；当y = 0时，x =－1，或x = 3，
∴ E（－1，0），F（0，－3），即 OE = 1，OF = 3．
①若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₁（x₁，y₁），作P₁M⊥x轴于M．
∵∠P₁EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90°，
∴∠P₁EM =∠EFO，得Rt△EFO∽Rt△P₁EM，于是，即EM =" 3" P₁M．
∵ EM = x₁ + 1，P₁M = y₁，∴ x₁ + 1 =" 3" y₁．     （*）
由于P₁（x₁，y₁）在抛物线C′ 上，有3（x₁²－2x₁－3）= x₁ + 1，
整理得  3x₁²－7x₁－10 = 0，解得 x₁ =－1（舍），或．
把代人（*）中可解得．∴P₁（，）．
②若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P₂（x₂，y₂），作P₂N⊥与y轴于N．
同①，易知Rt△EFO∽Rt△FP₂N，得，即P₂N =" 3" FN．
∵ P₂N = x₂，FN =" 3" + y₂，∴ x₂ = 3（3 + y₂）．     （**）
由于P₂（x₂，y₂）在抛物线C′ 上，有 x₂ = 3（3 + x₂²－2x₂－3），
整理得  3x₂²－7x₂ = 0，解得 x₂ = 0（舍），或．
把代人（**）中可解得．∴P₂（，）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为（，）或（，）．

解析