Question

已知：抛物线y=x²+bx+c的对称轴是x=2，且经过点A（1，0），且与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C，
（1）确定此二次函数的解析式及顶点D的坐标；
（2）将直线CD沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后直线m的解析式．
（3）在直线m上是否存在一点E，使得以点E、A、B、C为顶点的四边形是梯形，如果存在，求出满足条件的E点的坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）抛物线y=x²+bx+c的对称轴是x=2，且经过点A（1，0）
，0=1+b+c，
∴b=-4，c=3
∴y=x²-4x+3
∴y=（x-2）²-1，
∴顶点D坐标（2，-1）；

（2）设CD的解析式为：y=kx+b
∵D（2，-1），C（0，3），
∴3=b，-1=2k+b
解得：k=-2，b=3
∴DC的解析式为：y=-2x+3；
设平移后直线m的解析式为：y=-2x+k
∵直线CD沿y轴向下平移3个单位长度
∴直线m经过原点
∴平移后直线m的解析式为：y=-2x；

（3）过点C作CE∥AB交M于点E
由y=-2x，∵y=3
∴x=，y=3
∴E点的坐标为（，3），
过点A作E₁A∥BC交m于点E₁
设CB解析式为y=kx+b
∵经过B（3，0），C（0，3）
∴CB解析式为：y=-x+3
设E₁A解析式为：y=-x+b
∵E₁A过点A（1，0）
∴b=1
∴E₁A的解析式为y=-x+1
∵y=-2x
∴x=-1，y=2
∴E₁点坐标为（-1，2），
过点B作BE₃∥AC，
则可求E₃坐标为：E₃（9，-18）．
分析：（1）抛物线y=x²+bx+c的对称轴是x=2，且经过点A（1，0），，0=1+b+c，可得b=-4，c=3，从而求出答案；
（2）设CD的解析式为：y=kx+b，把D（2，-1），C（0，3）代入即可求解，然后根据平移原则即可得出答案；
（3）过点C作CE∥AB交M于点E，由y=-2x，y=3即可求出E点的坐标；过点A作E₁A∥BC交m于点E₁设CB解析式为y=kx+b，把经过B（3，0），C（0，3）代入即可求解；设E₁A解析式为：y=-x+b，把点A（1，0）可求出b的值；再过点B作BE₃∥AC，则可求出E₃坐标．
点评：本题考查了二次函数综合题，难度较大，关键是掌握用代入法求解函数的解析式．