Question

初三某班在庆祝申奥成功的活动中，制作某种喜庆用品需将一张半径为2的半圆形纸板沿它的一条弦折叠，使得弧与直径相切，如图所示，如果切点分直径为3：1两部分，则折痕长为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，根据垂径定理及其推论得到BD=DC，即OP为BC的中垂线，OP必过弧BGC所在圆的圆心，再根据切线的性质得到PF必过弧BGC所在圆的圆心，则点P为弧BGC所在圆的圆心，根据折叠的性质有⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F点分⊙O的直径为3：1两部分可计算出OF=1，在Rt△OPF中，设OG=x，利用勾股定理可计算出x，则由AG=PG-AP计算出AG，可得到DG的长，于是可计算出OD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理计算BD，即可得到BC的长．
解答：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，如图，
∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP为BC的中垂线，
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心，
又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心，
∴点P为弧BGC所在圆的圆心，
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，
∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F点分⊙O的直径为3：1两部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x=-2，
∴AG=2-（-2）=4-，
∴DG==2-，
∴OD=OG+DG=-2+2-=，
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（）²，
∴BD=，
∴BC=2BD=．
故选B．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理．