Question

10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30，AB=50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM=EN，sin∠EMP=$\frac{12}{13}$．
（1）如图，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，
①求证：△AEP∽△ABC；
②设AP=x，求MP的长；（用含x的代数式表示）
（2）若△AME∽△ENB，求AP的长．

Answer 1

分析 （1）本题需先根据sin∠EMP=$\frac{12}{13}$设出EP的值，从而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出$\frac{PE}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$，求出MP的长；
（2）本题需先设EP的值，得出则EM和MP的值，然后分①点E在AC上时，根据△AEP∽△ABC，求出AP的值，从而得出AM和BN的值，再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长；②点E在BC上时，根据△EBP∽△ABC的对应边成比例求出BP的值，从而求得线段BM、AM的长度；再根据△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的长．

解答 解：（1）如图1，∵sin∠EMP=$\frac{12}{13}$，
∴设EP=12a，
则EM=13a，PM=5a，
∵EM=EN，
∴EN=13a，PN=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{PE}{AP}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{12a}{x}$=$\frac{30}{40}$，
∴x=16a，
∴a=$\frac{x}{16}$，
∴EP=$\frac{3}{4}$x，
在直角△EMP中，sin∠EMP=$\frac{EP}{EM}$=$\frac{12}{13}$，则EM=$\frac{13}{16}$x，
∴PM=$\sqrt{E{M}^{2}-E{P}^{2}}$=$\frac{5}{16}$x；

（2）①当点E在AC上时，如图1，设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△AEP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{EP}{BC}$，
∴$\frac{AP}{40}$=$\frac{12a}{30}$，
∴AP=16a，
∴AM=11a，
∴BN=50-16a-5a=50-21a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{ME}{NB}$，
∴$\frac{11a}{13a}$=$\frac{13a}{50-21a}$，
∴a=$\frac{11}{8}$，
∴AP=16×$\frac{11}{8}$=22，
②当点E在BC上时，如图（备用图），设EP=12a，则EM=13a，MP=NP=5a，
∵△EBP∽△ABC，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{EP}{AC}$，
即$\frac{BP}{30}$=$\frac{12a}{40}$，
解得BP=9a，
∴BN=9a-5a=4a，AM=50-9a-5a=50-14a，
∵△AME∽△ENB，
∴$\frac{AM}{EN}$=$\frac{ME}{NB}$，
即$\frac{50-14a}{13a}$=$\frac{13a}{14a}$，
解得a=$\frac{8}{9}$，
∴AP=50-9a=50-9×$\frac{8}{9}$=42．
所以AP的长为：22或42．

点评 本题主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性质，在解题时要注意知识的综合应是解本题的关键．