Question

（2006•内江）阅读并解答下面问题：
（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）
（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？
（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作点A关于l的对称点A'，连接A'B，交l于点P，点P即为所求；
（2）利用（1）的方法即可求出P点的位置，由（1）知：A´与A关于CD对称，点P为污水处理厂的位置，因为由题知：AC=1，BD=2，CD=6，设PC=x，由△A´CP∽△BDP得，所以，求解即可；
（3）利用（2）中的方法，设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x，
则PA´=，PB=，由（2）知，当A´，P，B共线时，PA´+PB=y最小，
这时，，求解即可．
解答：解：（1）
（2分）

（2）由（1）知：A′与A关于CD对称，点P为污水处理厂的位置，
由题知：AC=1，BD=2，CD=6，设PC=x，

由△A´CP∽△BDP得，（4分）
∴，解得x=2，
∴污水处理厂应建在距C地2km的河堤边．（6分）

（3）设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x，
则PA´=，PB=，（7分）
由（2）知，当A´，P，B共线时，PA´+PB=y最小，（8分）
这时，，解得x=3，
当x=3时，y=+值最小，（9分）
最小值为．（10分）
点评：本题需仔细分析题意，结合图形，利用轴对称即可画出图形，利用相似三角形即可求解．