Question

如图所示，AB是⊙O的一条弦（不是直径），点C，D是直线AB上的两点，且AC=BD．
（1）判断△OCD的形状，并说明理由．
（2）当图中的点C与点D在线段AB上时（即C，D在A，B两点之间），（1）题的结论还存在吗？

Answer 1

解：（1）△OCD是等腰三角形
如左图所示，过点O作OM⊥AB，垂足为M，则有MA=MB
又AC=BD
∴AC+MA=BD+MB
即CM=DM
又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分线
∴OC=OD
∴△OCD为等腰三角形


（2）当点C，D在线段AB上时，如右图所示
同（1）题作OM⊥AB，垂足为M
由垂径定理，得AM=BM
又AC=BD
∴CM=AM-AC=BM-BD=MD
∴OC=OD
∴△OCD为等腰三角形．
分析：（1）过点O作OM⊥AB，根据垂径定理得出MA=MB，又因为AC=BD，可推理出CM=DM，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出结论．
（2）解法和（1）相似．
点评：此题通过两问，引导同学们进行探索，得出相同结论，开阔了同学们的视野，体会数学的奥妙．