Question

一次函数y=kx+k过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB．
（1）求k的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；
（2）求a、b满足的等量关系式；
（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由已知可得到其一次函数的解析式，从而求得A、B的坐标，据此即可画出一次函数的图象；
（2）根据已知可证明Rt△ABO∽Rt△QPO，相似三角形的对应边成比例，从而可求得a、b满足的等量关系式；
（3）已知△APQ是等腰三角形而没有明确指出是哪两边相等，从而要分两种情况进行分析，分别是AQ=PQ或AP=PQ再根据面积公式即可求得△APQ的面积．

解答：解：（1）∵一次函数y=kx+k的图象经过点（1，4），
∴4=k×1+k，
解得：k=2，
∴一次函数的解析式为：y=2x+2，
当x=0时，y=2，当y=0时，x=-1，
即A（-1，0），B（0，2），
如图，直线AB是一次函数y=2x+2的图象；

（2）∵PQ⊥AB，
∴∠QPO=90°-∠BAO，
又∵∠ABO=90°-∠BAO，
∴∠ABO=∠QPO，
∵∠AOB=∠QOP=90°，
∴Rt△ABO∽Rt△QPO，
∴

AO

QO

=

OB

OP

，即

1

b

=

2

a

，
∴a=2b；

（3）由（2）知a=2b，
∴AP=AO+OP=1+a=1+2b，
∵AQ²=OA²+OQ²=1+b²，PQ²=OP²+OQ²=a²+b²=（2b）²+b²=5b²，
若AQ=PQ，即AQ²=PQ²，则1+b²=5b²，即b=

1

2

或b=-

1

2

（舍去），
此时，AP=2，OQ=

1

2

，S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×2×

1

2

=

1

2

（平方单位），
若AP=PQ，则1+2b=

5

b，即b=2+

5

，
此时AP=1+2b=5+2

5

，OQ=2+

5

，
S_△APQ=

1

2

×AP×OQ=

1

2

×（5+2

5

）×（2+

5

）=10+

9 5

2

（平方单位），
若AQ=AP，则（a+1）²=1+b²，解得b=-

4

3

，因为点Q在y轴正半轴上运动，故舍去；
∴△APQ的面积为

1

2

平方单位或（10+

9 5

2

）平方单位．

点评：此题考查待定系数法求函数的解析式、一次函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，综合性很强，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．