Question

14．如图，抛物线y=-x²+bx+c的顶点为D（-1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；
（3）若点E在抛物线上，EF⊥x轴于点F，以A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似，试求出所有满足条件的点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）把D（-1，4），C（0，3）两点代入函数解析式求得答案即可；
（2）求得点A坐标，利用勾股定理分别求得AC，CD，AD，利用勾股定理逆定理证得结论即可；
（3）分两种情况探讨：△AFE∽△ACD，△FEA∽△ACD，利用相似的性质探讨得出答案即可．

解答 解：（1）把D（-1，4），C（0，3）两点代入函数解析式y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=4}\\{c=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴解析式的解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=0，
解得x=1或x=-3，
∴点A坐标为（-3，0），
∴AC=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，．
∵AC²+CD²=AD²，
∴△ACD为直角三角形．

（3）设E（x，-x²-2x+3），分两种情况讨论：
①若△AFE∽△ACD，如图1，

则$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{DC}$，
即$\frac{|x+3|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|-{x}^{2}-2x+3|}{\sqrt{2}}$，
整理，得3x²+7x-6=0，或3x²+5x-12=0
解得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=-3（与点A重合，舍去），或x₁=-3（舍去），x₂=$\frac{4}{3}$
当x=$\frac{2}{3}$时，y=$\frac{11}{9}$．或x=$\frac{4}{3}$时，y=$-\frac{13}{9}$
∴此时，点E的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）或（$\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．
②若△FEA∽△ACD，如图

则$\frac{AF}{DC}$=$\frac{EF}{AC}$，
即$\frac{|x+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|-{x}^{2}-2x+3|}{3\sqrt{2}}$．
整理，得x²+5x+6=0，或x²-x-12=0
解得x₁=-2，x₂=-3（舍去），或x₁=-3（舍去），x₂=4
当x=-2时，y=3．或x=4时，y=-21
∴此时点E的坐标为（-2，3）；或（4，-21）
综上所述，所有满足条件的点E的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$），（-2，3），（4，-21），（$\frac{4}{3}$，$-\frac{13}{9}$）．

点评 此题考查二次函数综合题，掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理与勾股定理逆定理，相似三角形的性质是解决问题的关键；注意分类思想的渗透．