Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+5经过点M（1，3）和N（3，5）

（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况；
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A、O、B为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由抛物线过M、N两点，

把M、N坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=x2﹣3x+5，

令y=0可得x2﹣3x+5=0，

该方程的判别式为△=（﹣3）2﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，

∴抛物线与x轴没有交点；

（2）

解：∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），点B在y轴上，

∴B点坐标为（0，2）或（0，﹣2），

可设平移后的抛物线解析式为y=x2+mx+n，

①当抛物线过点A（﹣2，0），B（0，2）时，代入可得 ，解得 ，

∴平移后的抛物线为y=x2+3x+2，

∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），

∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；

②当抛物线过A（﹣2，0），B（0，﹣2）时，代入可得 ，解得 ，

∴平移后的抛物线为y=x2+x﹣2，

∴该抛物线的顶点坐标为（﹣ ，﹣ ），而原抛物线顶点坐标为（ ， ），

∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、函数与方程的关系、等腰三角形的性质、坐标平移和分类讨论等．在（1）中注意方程与函数的关系，在（2）中确定出B点的坐标是解题的关键，注意抛物线顶点坐标的求法．本题属于基础题，难度不大．（1）把M、N两点的坐标代入抛物线解析式可求得a、b的值，可求得抛物线解析式，再根据一元二次方程根的判别式，可判断抛物线与x轴的交点情况；（2）利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【考点精析】利用等腰三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．