Question

【题目】（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：

①旋转角是____度；

②线段OD的长为_____；

③求∠BDC的度数．

（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，∠A0B=135，OA=1，0B=2，求0C的长.

小明同学借用了图1的方法，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，请你继续用小明的思路解答，或是选择自己的方法求解.

Answer 1

【答案】（1）①60°；②4；③∠BDC=150°；（2）OC=3．

【解析】试题分析：

（1）①由题意可知旋转角是∠ABC结合△ABC是等边三角形可得旋转角为60°；

②由旋转的性质可知BD=BO，∠OBD=60°，由此可得△OBD是等边三角形，从而可得OD=OB=4；

③由旋转的性质可得CD=OA=3，结合OC=5，OD=4可证得△ODC是直角三角形，∠ODC=90°，结合△OBD是等边三角形可得∠BDC=150°；

（2）由旋转的性质易得BD=BO=2，∠DBO=∠CBA=90°，∠BDC=∠BOA=135°，CD=AO=1，由此可得△DBO是等腰直角三角形，从而可得∠BDO=45°，则∠ODC=90°，这样在Rt△ODC中，由勾股定理即可求得OC的长了.

试题解析：

（1）①由题意可知，旋转角是∠ABC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∴旋转角的度数为60°；

②由旋转的性质可知BD=BO，∠OBD=60°，

∴△OBD是等边三角形，

∴OD=OB=4；

③∵△BOD为等边三角形，

∴∠BDO=60°，OD=4

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴CD=AO=3，

在△OCD中，CD=3，OD=4，OC=5，

∵CD2+OD2=32+42=52=OC2，

∴△OCD为直角三角形，∠ODC=90°，

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=60°+90°=150°；

（2）OC=3．

理由如下：

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD=2，CD=AO=1，

∴△OBD为等腰直角三角形，

∴∠BDO=45°，OD=OB=2，

∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，

∴∠AOB=∠BDC=135°，

∴∠ODC=90°，

∴CD2+OD2=OC2，

∴OC=3．