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如图,正方形ABCD的边长为,E是边AD上的一个动点(不与A重合),BE交对角线于F,连接
DF.
(1)求证:BF=DF;
(2)设AF=x,△ABF面积为y,求y与x的函数关系式,并画出图象.

【答案】分析:(1)根据正方形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠DAC=45°,根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,然后利用“边角边”证明△ABF和△ADF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)过点F作FM⊥AB于点M,根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质求出FM的长度,再利用三角形的面积公式列式整理即可得到y与x的函数关系式.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAC=∠DAC=45°,AB=AD,
在△ABF和△ADF中,

∴△ABF≌△ADF(SAS),
∴BF=DF;

(2)解:如图,过点F作FM⊥AB,
∵∠BAC=45°(正方形的对角线平分一组对角),
∴FM=AF=x,
∴y=AB•FM=×2×x=x,
∵E是边AD上的一个动点,
∴AF的最大值为AC=×AB=××2=2,
∴自变量的取值范围是0<x≤2,
故y与x的函数关系式为y=x(0<x≤2),图象如图.
点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,以及作正比例函数图象,比较简单,(2)中作辅助线构造等腰直角三角形从而求出AB边上的高是解题的关键,要注意自变量的取值范围.
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