Question

14．如图1，已知抛物线y=$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）若抛物线过点T（1，-$\frac{5}{4}$），求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（-1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1，把T的坐标代入解析式，求出a的值，写出解析式；
（2）根据点D在第二象限，∠DAB为钝角，所以当A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似时，只能∠DAB与∠ACB对应，所以分以下两种情况讨论：①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，
②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD，分别列比例式，得方程求解；
（3）先求出Q的坐标为（6，10），通过轴对称作出使四边形PQNM的周长最小时的M、N的位置，因为PQ、NM为定值，要想周长最小，则需要PM+NQ最小，即想办法做到一直线上，因此作P关于x轴的对称点P′，找到P′G=2，且P′G∥x轴，利用平移构建平行四边形P′GNM，从而得到x轴上的M和N，求出M的坐标．

解答 解：（1）如图1，把T（1，-$\frac{5}{4}$）代入抛物线y=$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）得：
-$\frac{5}{4}$=$\frac{1}{a}$（1-2）（1+a），
解得：a=4，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x-2；
（2）当x=0时，y=$\frac{1}{a}$×（-2）×a=-2，
∴C（0，-2），
当y=0时，$\frac{1}{a}$（x-2）（x+a）=0，
x₁=2，x₂=-a，
∴A（-a，0）、B（2，0），
如图2，过D作DE⊥x轴于E，
设D（m，n），
∵点D在第二象限，∠DAB为钝角，
∴分两种情况：
①如图2，当△BDA∽△ABC时，∠BAC=∠ABD，
∴tan∠BAC=tan∠ABD，即$\frac{OC}{OA}=\frac{DE}{BE}$，
∴$\frac{2}{a}=\frac{n}{-m+2}$，
n=$\frac{4-2m}{a}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4-2m}{a}}\\{n=\frac{1}{a}（m-2）（m+a）}\end{array}\right.$，
解得：m=-2-a或2，
∴E（-2-a，0），
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{a}^{2}+4}$，
∵$\frac{AO}{AC}=\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+4}}$=$\frac{-m+2}{BD}$=$\frac{a+4}{BD}$，
BD=$\frac{（a+4）\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$，
∵△BDA∽△ABC，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∴AB²=AC•BD，
即（a+2）²=$\sqrt{{a}^{2}+4}$•$\frac{（a+4）\sqrt{{a}^{2}+4}}{a}$，
解得：0=16，此方程无解；
②当△DBA∽△ABC时，如图3，∠ABC=∠ABD，
∵B（2，0），C（0，-2），
∴OB=OC=2，
∴△OBC是等腰直角三角形，
有BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠ABC=∠ABD=45°，
∴DE=BE，
n=-m+2，
∴BD=$\sqrt{2{n}^{2}}$，
∵△DBA∽△ABC，
∴$\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
∴AB²=BD•BC，
∴（a+2）²=$\sqrt{2{n}^{2}}$•2$\sqrt{2}$=4n，
则$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}=4n}\\{n=-m+2}\\{n=\frac{1}{a}（m-2）（m+a）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-4\sqrt{2}-4}\\{n=6+4\sqrt{2}}\\{a=2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
则a=2+2$\sqrt{2}$；
（3）当x=6时，y=$\frac{1}{4}$（6-2）（6+4）=10，
∴Q（6，10），
如图4，作P关于x轴的对称点P′，过P′作P′G∥x轴，且P′G=2，连接GQ交x轴于N，过P′作P′M∥GN，交x轴于M，
此时，QG就是MP+NQ的最小值，由于PQ、NM为定值，所以此时，四边形PMNQ的周长最小，
∵P（-1，1），
∴P′（-1，-1），
∵P′G∥MN，P′M∥GN，
∴四边形P′GNM是平行四边形，
∴MN=P′G=2，NG=P′M=PM，
∴G（1，-1），
设GQ的解析式为：y=kx+b，
把G（1，-1）和Q（6，10）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-1}\\{6k+b=10}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{5}}\\{b=-\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴GQ的解析式为：y=$\frac{11}{5}$x-$\frac{16}{5}$，
当y=0时，x=$\frac{16}{11}$，
∴N（$\frac{16}{11}$，0），
∵MN=2，
∴M（-$\frac{6}{11}$，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了二次函数利用待定系数法求解析式及二次函数的性质，当两个三角形相似时，根据已知条件分类讨论；对于图形周长的最小值问题，要先确定哪此边是定值，哪些边是不确定值，根据轴对称的性质利用数形结合的思想解决问题．