Question

如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．
（1）试说明：AE为⊙O的切线；
（2）延长AE与CD交于点P，已知PA=2，PD=1，求⊙O的半径和DE的长．

Answer 1

分析：（1）作辅助线OA构建平行线OA∥DE，然后由平行线的性质知∠OAP=90°；
（2）设⊙O的半径为x．在Rt△AOP中，利用勾股定理知OA²+AP²=OP²，然后将x代入其中，求得x=1.5；再来根据△PED∽△PAO的对应边成比例求得DE的长度即可．

解答：解：（1）连接OA．
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO=∠ADE，
∵AB⊥CD，
∴∠AED=∠AHD=90°．
又∵OA=OD（圆的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代换），
∴OA∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠OAP=90°（两直线平行，同位角相等），
又∵点A在圆上，
∴AE为⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，
OA²+AP²=OP²
x²+2²=（x+1）²（5分）
解得，x=1.5
∴⊙O的半径为1.5；
∵OA∥DE，
∴△PED∽△PAO
∴

DP

PO

=

DE

AO

，

1

2.5

=

DE

1.5

，
解得DE=

3

5

．

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及垂径定理．解答该题时，借助于辅助线OA，将隐含在题干中的条件半径OA∥DE浮于水面，降低了题的难度．