如图.在△ABC中.已知∠BAC=45°.AD⊥BC于点D.BD=2.DC=3.求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识.将图形进行翻折变换.巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路.探究并解答下列问题:(1)分别以AB.AC为对称轴.作出△ABD.△ACD的轴对称图形.点D的对称点分别为E.F.延长EB.FC交于点G.证明四边形AEGF是正方形,(2)设AD=x.利用勾股定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，BD=2，DC=3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB，AC为对称轴，作出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，证明四边形AEGF是正方形；
（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出AD的值．

考点：翻折变换（折叠问题）,勾股定理,正方形的判定

专题：

分析：（1）先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根据对称的性质得到AE=AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x-2）²+（x-3）²=5²，求出AD=x=6．

解答：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
∴四边形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴矩形AEGF是正方形．

（2）解：设AD=x，则AE=EG=GF=x．
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x-2，CG=x-3
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-2）²+（x-3）²=5²．
化简得，x²-5x-6=0
解得x₁=6，x₂=-1（舍去）
所以AD=x=6．

点评：本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．

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