Question

（2012•同安区一模）已知二次函数y=-x²+3x+k的图象经过点C（0，-2），与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D
（1）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）在（1）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线经过点C求出k的值为-2，即可得到抛物线解析式，然后令y=0，解关于x的一元二次方程求出点A、B的坐标，然后求出AO、CO、BD的长度，再分①AO与ED是对应边，②AO与BD是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列出比例式，然后用m表示出ED的长度，根据点E在第四象限写出点E的坐标即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等，用点E的坐标表示出点F的坐标，然后把点F的坐标代入抛物线，解方程求出m的值，符合m＞2，则存在，否则不存在．

解答：解：（1）∵二次函数y=-x²+3x+k的图象经过点C（0，-2），
∴二次函数的解析式y=-x²+3x-2，
令y=0，则-x²+3x-2=0，解得x₁=1，x₂=2，
所以，点A（1，0），B（2，0），
所以，AO=1，CO=2，BD=m-2．
①AO与ED是对应边时，∵△AOC∽△EDB，
∴

AO

ED

=

CO

BD

，
即

1

ED

=

2

m-2

，
解得ED=

m-2

2

，
∵点E在第四象限，
∴E₁（m，

2-m

2

），
②AO与BD是对应边时，∵△AOC∽△BDE，
∴

AO

BD

=

CO

ED

时，
即

1

m-2

=

2

ED

，
解得，ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（2）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，
则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为（m，

2-m

2

）时，点F₁的坐标为（m-1，

2-m

2

），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
解得m₁=

7

2

，m₂=2（不合题意，舍去），
∴F₁（

5

2

，-

3

4

），
∴S_□ABEF=1×

3

4

=

3

4

；
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，解得m₁=5，m₂=2（不合题意，舍去），
∴F₂（4，-6），
∴S_□ABEF=1×6=6．

点评：本题是二次函数综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，平行四边形的对边平行且相等的性质，以及抛物线上点的坐标特征，难点在于要分情况进行讨论．