Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=

7

，那么∠CPA=

 

度．

Answer 1

分析：将△ABP绕A点旋转，根据旋转的性质可得出∠QPA=45°，根据勾股定理可证出∠PAQ=90°，从而可得出答案．

解答：解：将△ABP绕A点逆时针旋转90°，然后连接PQ，
则AQ=AP=1，CQ=PB=3，∠QAC=∠PAB，
∵∠QAP=90°，
∴∠QPA=45°，
又∵∠PAB+∠PAC=90°，
所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°，
所以PQ²=AQ²+AP²=2，且∠QPA=45°，
在△CPQ中，PC²+PQ²=7+2=9=CQ²
∴∠QPC=90°，
∴∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°．
故答案为：135°．

点评：本题考查了等腰直角三角形及旋转的性质，难度很大，解答本题的关键是将△ABP正确的旋转．