Question

15．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN＞AM≥BN，△AMC，△MND和△NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究S_△AMF，S_△BEN和S_{四边形MNHG}的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可；
（2）先证出点M、N分别是AD、AE的中点，得出BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，求出EC²=BD²+DE²，得出NG²=FM²+MN²，即可得出结论；
（3）在AB上截取CE=CA；作AE点垂直平分线，截取CF=CA；作BF的垂直平分线，交AB于D即可；
（4）先证明△DGH≌△NEH，得出DG=EN=b，MG=c-b，再证明△AGM∽△AEN，得出比例式，得出c²=2ab-ac+bc，证出c²=a²+b²，得出a=b，证出△DGH≌△CAF，得出S_△DGH=S_△CAF，证出S_△DMN=S_△ACM+S_△ENB，即可得出结论．

解答 （1）解：①当MN为最大线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{9-4}$=$\sqrt{5}$；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN=$\sqrt{M{N}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
综上所述：BN=$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$；
（2）证明：∵FG是△ABC的中位线，
∴FG∥BC，
∴$\frac{AM}{MD}$=$\frac{AN}{NE}$=$\frac{AG}{GC}$=1，
∴点M、N分别是AD、AE的中点，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵点D、E是线段BC的勾股分割点，且EC＞DE≥BD，
∴EC²=BD²+DE²，
∴（2NG）²=（2FM）²+（2MN）²，
∴NG²=FM²+MN²，
∴点M、N是线段FG的勾股分割点；
（3）解：作法：①在AB上截取CE=CA；
②作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；
③连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；
点D即为所求；如图所示：
（4）解：S_{四边形MNHG}=S_△AMF+S_△BEN，理由如下：
设AM=a，BN=b，MN=c，
∵H是DN的中点，
∴DH=HN=$\frac{1}{2}$c，
∵△MND、△BNE均为等边三角形，
∴∠D=∠DNE=60°，
在△DGH和△NEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠DNE}\\{DH=HN}\\{∠DHG=∠NHE}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△NEH（ASA），
∴DG=EN=b，
∴MG=c-b，
∵GM∥EN，
∴△AGM∽△AEN，
∴$\frac{c-b}{b}=\frac{a}{a+c}$，
∴c²=2ab-ac+bc，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴c²=a²+b²，
∴（a-b）²=（b-a）c，
又∵b-a≠c，
∴a=b，
在△DGH和△CAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠C}\\{DG=CA}\\{∠DGH=∠CAF}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△CAF（ASA），
∴S_△DGH=S_△CAF，
∵c²=a²+b²，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$c²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
∴S_△DMN=S_△ACM+S_△ENB，
∵S_△DMN=S_△DGH+S_{四边形MNHG}，S_△ACM=S_△CAF+S_△AMF，
∴S_{四边形MNHG}=S_△AMF+S_△BEN．

点评 本题是相似形综合题目，考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形和四边形面积的计算等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（4）中，需要两次证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．