Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
（注意：本题中的结果均保留根号）．

Answer 1

分析：（1）由已知得OA=2，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，则OB与x轴的正方向夹角为60°，过点B作BD⊥x轴于点D，解直角三角形可得OD、BD的长，可表示B点的坐标；
（2）直接将A、O、B三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；
（3）因为点A，O关于对称轴对称，连接AB交对称轴于C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据C点的横坐标值，求纵坐标；
（4）设P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），用割补法可表示△PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值．

解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴于点D，由已知可得：OB=OA=2，∠BOD=60°，
在Rt△OBD中，∠ODB=90°，∠OBD=30°
∴OD=1，DB=

3

∴点B的坐标是（1，

3

）．（2分）

（2）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
由已知可得：

c=0 a+b+c= 3 4a-2b+c=0

，
解得：a=

3

3

，b=

2 3

3

，c=0，
∴所求抛物线解析式为y=

3

3

x²+

2 3

3

x．（4分）

（3）存在，
由y=

3

3

x²+

2 3

3

x配方后得：y=

3

3

（x+1）²-

3

3

∴抛物线的对称轴为x=-1（6分）
（也可用顶点坐标公式求出）
∵点C在对称轴x=-1上，△BOC的周长=OB+BC+CO；
∵OB=2，要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，
∵点O与点A关于直线x=-1对称，有CO=CA
△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+CA
∴当A、C、B三点共线，即点C为直线AB与抛物线对称轴的交点时，BC+CA最小，此时△BOC的周长最小．
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有：

k+b= 3 -2k+b=0

，
解得：k=

3

3

，b=

2 3

3

，
∴直线AB的解析式为y=

3

3

x+

2 3

3

，（7分）
当x=-1时，y=

3

3

，
∴所求点C的坐标为（-1，

3

3

），（8分）

（4）设P（x，y）（-2＜x＜0，y＜0），
则y=

3

3

x²+

2 3

3

x①
过点P作PQ⊥y轴于点Q，PG⊥x轴于点G，过点A作AF⊥PQ轴于点F，过点B作BE⊥PQ轴于点E，
则PQ=-x，PG=-y，
由题意可得：S_△PAB=S_梯形AFEB-S_△AFP-S_△BEP（9分）
=

1

2

（AF+BE）•FE-

1

2

AF•FP-

1

2

PE•BE
=

1

2

（-y+

3

-y）（1+2）-

1

2

（-y）（x+2）-

1

2

（1-x）（

3

-y）
=-

3

2

y+

3

2

x+

3

②
将①代入②，
化简得：S_△PAB=-

3

2

x²-

3

2

x+

3

（10分）
=-

3

2

（x+

1

2

）²+

9 3

8

∴当x=-

1

2

时，△PAB得面积有最大值，最大面积为

9 3

8

．（11分）
此时y=

3

3

×

1

4

+

2 3

3

×(-

1

2

)=-

3

4

∴点P的坐标为(-

1

2

，-

3

4

)．（12分）

点评：本题考查了坐标系中点的坐标求法，抛物线解析式的求法，根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最大值等问题；
解答本题（4）也可以将直线AB向下平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P的坐标．