Question

如图四边形AOBC是正方形，点C的坐标是（4

2

，0），动点P、Q同时从点O出发，点P沿着折线OACB的方向运动；点Q沿着折线OBCA的方向运动，设运动时间为t．
（1）求出经过O、A、C三点的抛物线的解析式．
（2）若点Q的运动速度是点P的2倍，点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R，当AR=3

2

时，请求出直线PQ的解析式．
（3）若点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒2个单位长度，两点运动到相遇停止．设△OPQ的面积为S．请求出S关于t的函数关系式以及自变量t的取值范围．
（4）判断在（3）的条件下，当t为何值时，△OPQ的面积最大？

Answer 1

分析：（1）要求经过O、A、C三点的抛物线的解析式，只要求出点A的坐标就可以，并且根据抛物线的对称性可知点A是顶点，所以根据正方形的性质很容易求出点A的坐标，从而解决问题．
（2）要求直线PQ的解析式，根据P、Q的速度关系，利用相似三角形的对应边成比例求出P、Q的坐标，最后利用待定系数法求出其解析式就可．
（3）本问实际上是一个分段函数，P、Q到达不同的位置S与t的解析式是不一样的，Q到达B点时P在OA的中点，Q到达C点时P到达A点，求出P、Q的 相遇时间分3种情况就可以表示出其函数关系式．
（4）通过第（3）问的函数关系式及图形就可以比较或计算出△OPQ的最大面积．

解答：解：（1）设AB、OC相交于点D．
∵四边形ACBO是正方形，
∴OD=CD=

1

2

OC，OD⊥CD，∠OAD=∠AOC=45°，AB=OC，∠OAC=90°，
∴∠ADC=90°，DO=DA，AB=4

2

，OA=AC=BC=OB=4，
∵OC=4

2

，
∴DO=DA=2

2

，
∴点A（2

2

，2

2

），
设经过O、A、C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．由题意得

- b 2a =2 2 4ac-b2 4a =2 2 0=32a+4 2 b+c

，
解得：

a=- 2 4 b=2 c=0

．
故经过O、A、C三点的抛物线的解析式为：y=-

2

4

x2+2x；

（2）设t秒后点Q运动到边BC上，连接PQ交AB于点R．
∴OP=t，OB+BQ=2t
∴AP=4-t，BQ=2t-4
∵AR=3

2

∴BR=

2

∵△ARP∽△BRQ
∴

AR

BR

=

AP

BQ

∴

4-t

2t-4

=

3 2

2

解得：t=

16

7

∴OP=

16

7

，P（

8 2

7

，

8 2

7

）
BQ=

4

7

，Q（

16 2

7

，-

12 2

7

）
设PQ的解析式为y=kx+b，由题意得

8 2 7 = 8 2 7 k+b - 12 2 7 = 16 2 7 k+b

解得：

k=- 5 2 b=4 2

∴PQ的解析式为：y=-

5

2

x+4

2

；

（3）由题意得
t+2t=16
解得：t=

16

3

∴PQ相遇的时间为

16

3

在整个运动过程中S与t的函数关系式有三种情况：
S=

1 2 t•2t=t2     (0≤t≤2) 1 2 t•4=2t      (2＜t≤4) -6t+32         (4＜t≤ 16 3 )

（4）在（3）的条件下，当t=4时，△OPQ的面积最大．
∴S_△OPQ最大=8

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求抛物线的解析式、直线的解析式以及动点问题在函数中的运用．本题难度比较大，是一道综合性较强的试题．