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精英家教网如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则
QC
QA
的值为(  )
A、2
3
-1
B、2
3
C、
3
+
2
D、
3
+2
分析:设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,QA=r-m.利用相交弦定理,求出m与r的关系,即用r表示出m,即可表示出所求比值.
解答:精英家教网解:如图,设⊙O的半径为r,QO=m,则QP=m,QC=r+m,
QA=r-m.
在⊙O中,根据相交弦定理,得QA•QC=QP•QD.
即(r-m)(r+m)=m•QD,所以QD=
r2-m2
m

连接DO,由勾股定理,得QD2=DO2+QO2
(
r2-m2
m
)2=r2+m2

解得m=
3
3
r

所以,
QC
QA
=
r+m
r-m
=
3
+1
3
-1
=
3
+2

故选D.
点评:本题考查了相交弦定理,即“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”.熟记并灵活应用定理是解题的关键.
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