如图.平面直角坐标系中.直线AB分别交x轴负半轴于点A.交y轴的正半轴于点B.若线段OA.OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两个根.且OA＞OB．(1)求点A.B两点的坐标．(2)点M在线段AB上.若S△AOM=2.求经过点M的反比例函数解析式．(3)若点P射线AB上.BP=15.在x轴上是否存在点Q.是以点B.P.Q为顶点的三角形是直角三角形?若存在.直接写出Q� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若线段OA，OB的长分别是方程x²-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．
（1）求点A，B两点的坐标．
（2）点M在线段AB上，若S_△AOM=2，求经过点M的反比例函数解析式．
（3）若点P射线AB上，BP=15，在x轴上是否存在点Q，是以点B，P，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

分析（1）先解一元二次方程，从而得出OA，OB即可得出点A，B坐标；
（2）借助（1）得出的点A，B坐标，确定出直线AB解析式，利用面积即可确定出点M的坐标，进而得出结论；
（3）先确定出点P的坐标，分三种情况进行讨论计算，前两种情况用直线与x轴的交点坐标即可确定，最后一种用勾股定理即可得出结论．

解答解：（1）∵x²-7x+12=0，
∴x=3或x=4，
∵OA＞OB．
∴OA=4，OB=3，
∴A（-4，0），B（0，3）；
（2）由（1）知，A（-4，0），B（0，3）；
∴直线AB解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
∵点M在线段AB上，
∴设M（m，$\frac{3}{4}$m+3），（-4≤m≤0），
∵S_△AOM=2，
∴S_△AOM=$\frac{1}{2}$OA×|y_M|=$\frac{1}{2}$×4×y_M=2，
∴y_M=1，∴$\frac{3}{4}$m+3=1，
∴m=-$\frac{8}{3}$，∴M（-$\frac{8}{3}$，1），
∴经过点M的反比例函数解析式为y=-$\frac{8}{3x}$，
（3）由（2）知，直线AB解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
∵点P射线AB上，
∴设P（n，$\frac{3}{4}$n+3），
∵BP=15，
∴n²+（3-$\frac{3}{4}$n-3）²=15²，
∴n=-12（由于P在射线AB上，所以舍去）或n=12，
∴P（12，12），
①当点B为直角顶点时，BQ⊥AB，
∴BQ解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+3，
∵Q在x轴上，
∴Q（$\frac{9}{4}$，0）；
②当点P为直角顶点时，PQ⊥AB，
设PQ的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+b，
∵点P在直线PQ上，
∴-$\frac{4}{3}$×12+b=12，
∴b=28，
∴PQ的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+28，
∴Q（21，0）；
③当点Q是直角顶点时，BQ²+PQ²=BP²，
设Q（p，0），
∴BQ²=p²+9，PQ²=（p-12）²+12²，BP=15，
∴p²+9+（p-12）²+12²=15²，
∴p=6，
∴Q（6，0）；
综上所述，满足条件的点Q（$\frac{9}{4}$，0）；或（21，0）；或（6，0）．

点评此题是反比例函数综合题，主要考查了一元二次方程的解法，三角形的面积，待定系数法，直角三角形的性质，解本题的关键是得出点P的坐标．

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