Question

17．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，连接CE，作BF⊥CE，垂足为F，则tan∠FBC的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{10}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 首先根据以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，判断出BE=BC=5；然后根据勾股定理，求出AE的值是多少，进而求出DE的值是多少；再根据勾股定理，求出CE的值是多少，再根据BC=BE，BF⊥CE，判断出点F是CE的中点，据此求出CF、BF的值各是多少；最后根据角的正切的求法，求出tan∠FBC的值是多少即可．

解答 解：∵以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，
∴BE=BC=5，
∴AE=$\sqrt{{BE}^{2}{-AB}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}{-3}^{2}}=4$，
∴DE=AD-AE=5-4=1，
∴CE=$\sqrt{{CD}^{2}{+DE}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+1}^{2}}=\sqrt{10}$，
∵BC=BE，BF⊥CE，
∴点F是CE的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}CE=\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴BF=$\sqrt{{BC}^{2}{-CF}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}{-（\frac{\sqrt{10}}{2}）}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴tan∠FBC=$\frac{CF}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{3}$，
即tan∠FBC的值为$\frac{1}{3}$．
故选：D．

点评 （1）此题主要考查了勾股定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
（3）此题还考查了锐角三角函数的定义，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确一个角的正弦、余弦、正切的求法．
（4）此题还考查了矩形的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．