Question

6．如图，一个直角三角形纸片的锐角顶点A在∠MCN的边OM上移动，移动过程中始终有AB⊥ON于点B，AC⊥OM于点A，∠MON的平分线OP分别交AB，AC于点D、E．
（1）点A在移动的过程中，线段AD和AE有怎样的数量关系？（不必证明）
（2）点A在移动的过程中，若射线ON上始终存在一点F与点A关于OP所在的直线对称，判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？
（3）若∠MON=45°，猜想线段AC、AD、OC之间有怎样的数量关系？请证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）结论：AD=AE，只要证明∠ADE=∠AED即可．
（2）结论：四边形ADFE是菱形，如图2中，连接DF、EF．只要证明AE=EF=AD=FD即可．
（3）由OC=OF+FC，只要证明OF=OA，FC=AD即可．

解答 解：（1）结论：AD=AE．
理由：如图1中，

∵AB⊥OC，CA⊥OA，
∴∠ABO=∠OAE=90°，
∴∠AEO=90°-∠AOE，'∠ADE=∠ODB=90°-∠BOD，
∵∠AOE=∠BOD，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．

（2）结论：四边形ADFE是菱形．
理由：如图2中，连接DF、EF．

∵点A、F关于直线OP对称，E、D在OP上，
∴AE=FE，AD=FD，
∵AD=AE，
∴AE=EF=AD=FD，
∴四边形ADFE是菱形．

（3）结论：OC=AC+AD．
理由：如图2中，
∵点F与点A关于直线OP对称，
∴AO=OF，
∵AC⊥OH，∠MON=45°，
∴∠OAC=90°，
∴∠ACO=∠MON=45°，
∴OF=AO=AC，
由（2）可知四边形ADFE是菱形，
∴EF∥AB，AD=EF，
∵AB⊥ON，
∴∠ABC=90°，
∴∠EFC=∠ABC=90°，
∵∠ACO=45°，
∴∠ACO=∠CEF，
∴CF=EF=AD，
∵OC=OF+FC，
∴OC=AC+AD．

点评 本题考查三角形综合题、角平分线的性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．