Question

如图所示，在等边中△ABC，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图（1），然后将△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，得到图（2），M、N分别是BD、CE的中点，连接AM、AN、MN得到图（3），请解答下列问题：
（1）在图（2）中，线段BD与线段CE的大小关系是______；
（2）在图（3）中，△AMN与△ABC是相似三角形吗？请证明你的结论．

Answer 1

解：（1）BD=CE；
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
在图（1）中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE是等边三角形，
∵△ADE绕A点顺时针旋转120°，使B、A、E三点在同一直线上，
∴如图（2），AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

（2）△AMN与△ABC相似．
证明：∵M、N分别是BD、CE的中点，
∴EN=CE，DM=BD，
∵BD=CE，
∴EN=DM，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠AEN=∠ADM，
在△ADM和△AEN中，
，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∴AM=AN，∠MAD=∠NAE，
∴∠MAN=∠DAE=60°，
∴△AMN也是等边三角形，
∴△AMN∽△ABC．
故答案为：（1）BD=CE．
分析：（1）由在等边中△ABC，DE∥BC，易证得△ADE也是等边三角形，然后利用SAS，证得△BAD≌△CAE，即可得BD=CE；
（2）由△BAD≌△CAE，可得∠AEN=∠ADM，又由M、N分别是BD、CE的中点，易得EN=DM，然后根据SAS证得△ADM≌△AEN，即可得AM=AN，∠MAN=60°，判定△AMN是等边三角形，即可得在图（3）中，△AMN与△ABC是相似三角形．
点评：此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．