Question

（1997•浙江）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线AC上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G，H，且EG+FH=EF．
（1）求线段EF的长；
（2）设EG=x，△AGE与△CFH的面积和为S，写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据EG⊥AD，CD⊥AD，得出△AGE∽△ADC，

AE

AC

=

EG

CD

，求出AC，AE=

5

3

EG，同理可得；CF=

5

3

FH，再根据AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，得出

5

3

EF+EF=5，EF=

15

8

，
（2）根据△AGE∽△ADC，

AG

AD

=

EG

CD

，得出AG=

4

3

EG=

4

3

x，同理可得：CH=

4

3

FH=

4

3

（

15

8

-x），再根据S=

1

2

•

4

3

x•x+

1

2

•

4

3

（

15

8

-x）²然后进行整理即可求出最大值．

解答：解：（1）∵EG⊥AD，CD⊥AD，
∴EG∥CD，
∴△AGE∽△ADC．
∴

AE

AC

=

EG

CD

，
∵AD=4，CD=3，
∴AC=

32+42

=5，
∴AE=

5

3

EG，
同理可得；CF=

5

3

FH，
∵AE+CF+EF=5，EG+FH=EF，
∴

5

3

EF+EF=5
EF=

15

8

，

（2）∵△AGE∽△ADC，
∴

AG

AD

=

EG

CD

，
∴AG=

4

3

EG=

4

3

x，
同理可得：CH=

4

3

FH=

4

3

（

15

8

-x）
∴S=

1

2

•

4

3

x•x+

1

2

•

4

3

（

15

8

-x）²=

4

3

x²-

5

2

x+

75

32

（0＜x＜

15

8

），
S_最小值=

4× 4 3 × 75 32 - 25 4

4× 4 3

=

75

64

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定与性质列出比例式，求出线段的长度．