Question

3．如图，已知正方形ABCD中，E在AD边上，F在CD边上，且∠EBF=45°，若AE=2，CF=3，则AB长（　　）

• A． 5.5
• B． 6
• C． 6.5
• D． 7

Answer 1

分析 将△ABE顺时针旋转90°得到△A′BE′，则点A′与点C重合，连接EE′交BF于点M，通过旋转的性质可得出△EBE′为等腰直角三角形，设AB=a，利用勾股定理用含a的代数式表示出EE′的长度，再根据等腰直角三角形的性质找出BF⊥EE′，进而找出△ME′F∽DE′E，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{ME′}{AE′}=\frac{FE′}{EE′}$，代入数据即可得出关于a的分式方程，解方程求出a值，经检验后即可得出结论．

解答 解：如图所示，将△ABE顺时针旋转90°得到△A′BE′，则点A′与点C重合，连接EE′交BF于点M．
由旋转的性质可知：BE=BE′，AE=CE′，∠ABE=∠CBE′．
∵∠ABE=∠CBE′，∠ABC=90°，
∴∠EBE′=90°．
∵BE=BE′，
∴△EBE′为等腰直角三角形．
设AB=a，则DE=AD-AE=a-2，DE′=CD+CE′=a+2，
∴EE′=$\sqrt{D{E}^{2}+DE{′}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}+8}$．
∵∠EBF=45°，
∴BF⊥EE′．
∵∠ME′F=∠DE′E，
∴△ME′F∽DE′E，
∴$\frac{ME′}{AE′}=\frac{FE′}{EE′}$，即$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+8}}{a+2}=\frac{3+2}{\sqrt{2{a}^{2}+8}}$，
解得：a=6或a=-1（舍去）．
经检验a=6是分式方程$\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2{a}^{2}+8}}{a+2}=\frac{3+2}{\sqrt{2{a}^{2}+8}}$的解．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出关于a的分式方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过相似三角形的性质找出各边之间的关系是关键．