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    设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点（图）．求证：∠DAE=
    1
    2
    ∠BAF    ．
    证明：如图，作∠BAF的平分线AH交DC的延长线于H，则∠1=∠2=∠3，
    所以FA=FH．
    设正方形边长为a，在Rt△ADF中，
    AF2=AD2+DF2=a2+(
    3a
    4
    )    2    =
    25
    16
    a2，
    所以AF=
    5
    4
    a    =FH．
    从而CH=FH-FC=
    5
    4
    a    -
    a
    4
    =a，
    所以Rt△ABG≌Rt△HCG（AAS），GB=GC=DE=
    1
    2
    a．
    从而Rt△ABG≌Rt△ADE（SAS），
    所以∠DAE=∠2=
    1
    2
    ∠BAF．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系．

    （1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
    （2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度a，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：单选题

    如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，AF⊥BE于点F，交BD于点G，则下述结论中不成立的是（　　）
    A．AG=BEB．△ABG≌△BCEC．AE=DGD．∠AGD=∠DAG

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AF平分∠BAC，交BD于点F．

    （1）求证：AB-OF=
    1
    2
    AC    ；
    （2）点A1、点C1分别同时从A、C两点出发，以相同的速度运动相同的时间后同时停止，如图，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E⊥A1C1，垂足为E，请猜想EF1，AB与
    1
    2
    A1C1    三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
    （3）在（2）的条件下，当A1E1=6，C1E1=4时，求BD的长．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．
    （1）求证：△BCF≌△DCE；
    （2）求证：BF=DE，BF⊥DE；
    （3）若BC=5，CF=3，∠BFC=90°，求DG：GC的值．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知正方形ABCD的边长为12，E，F分别是AD，CD上的点，且EF=10，∠EBF=45°，则AE的长为______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    一个边长为1的正方形，以它的对角线为边向外做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边向外作第三个正方形，以此类推，则第四个正方形的边长为______，第n个正方形的边长为______．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，边长为5的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
    （1）当点坐标为A（4，0）时，求点D的坐标；
    （2）求证：OP平分∠AOB；
    （3）直接写出OP长的取值范围（不要证明）．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，P是ABCD的边CD上的任意一点，且PE⊥DB于点E，PF⊥AC于点F，则PE+PF=______．

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