Question

如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若D为OA的中点，阴影部分的面积为－，求⊙O的半径r．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)连OC，由OA＝OB，CA＝CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到结论； 　　(2)由D为OA的中点，OD＝OC＝r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A＝30°，∠AOC＝60°，，AC＝r，则∠AOB＝120°，AB＝2r，利用S阴影部分＝S△OAB－S扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可． 　　解答：(1)证明：连OC，如图， 　　∵OA＝OB，CA＝CB， 　　∴OC⊥AB， 　　∴AB是⊙O的切线； 　　(2)解：∵D为OA的中点，OD＝OC＝r， 　　∴OA＝2OC＝2r， 　　∴∠A＝30°，∠AOC＝60°，AC＝r， 　　∴∠AOB＝120°，AB＝2r， 　　∴S阴影部分＝S△OAB－S扇形ODE＝·OC·AB－＝－， 　　∴·r·2r－r2＝－， 　　∴r＝1， 　　即⊙O的半径r为1． 　　点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式．

提示：

切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算．