Question

在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图1）．
（1）求边AB在旋转过程中所扫过的面积；
（2）设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论；
（3）设MN=m，当m为何值时△OMN的面积最小，最小值是多少？并直接写出此时△BMN内切圆的半径．

Answer 1

分析：（1）S_阴=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OAA′-S_扇形OAA′，根据公式即可求解．
（2）延长BA交y轴于E点，可以证明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN证得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．从而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，所以（1-n）²+（1-m+n）²=m²?m²-mn+2-m=0．把这个方程看作关于n的方程，根据一元二次方程有解得条件，即可求得．

解答：解：（1）如图，S_阴=S_△OAB+S_扇形OBB'-S_△OA'B′-S_扇形OAA'
=S_扇形OBB′-S_扇形OAA′=

45

360

π(

2

)2-

45

360

π×1²=

π

8

（6分）


（2）p值无变化（7分）
证明：延长BA交y轴于E点，
在△OAE与△OCN中，

∠AOE=∠CON=90°-∠AON ∠OAE=∠OCN=90° OA=OC

∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE=ON，AE=CN（8分）
在△OME与△OMN中，

OE=ON ∠MOE=∠MON=45° OM=OM

∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN（9分）
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；

（3）设AM=n，则BM=1-n，CN=m-n，BN=1-m+n，
∵△OME≌△OMN，
∴S_△MON=S_△MOE=

1

2

OA×EM=

1

2

m（11分）
在Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²
∴（1-n）²+（1-m+n）²=m²?n²-mn+1-m=0
∴△=m²-4（1-m）≥0?m≥2

2

-2或m≤-2

2

-2，
∴当m=2

2

-2时，△OMN的面积最小，为

2

-1．
此时n=

2

-1，
则BM=1-n=2-

2

，BN=1-m+n=2-

2

，
∴Rt△BMN的内切圆半径为

BM+BN-MN

2

=3-2

2

．

点评：本题综合运用了扇形的面积公式，全等三角形的判定，三角形的面积公式以及勾股定理的综合应用，难度较大．