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17、如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,BP⊥AD,垂足为P.已知AB=5,BP=2,AC=9.试说明∠ABC=3∠ACB.
分析:先延长BP,交AC与E,根据已知条件、结合AAS易证△ABP≌△AEP,从而有BE=PE,AE=AB,∠AEB=∠ABE,
易求BE=4,AE=5,那么CE=4,于是可知△BCE是等腰三角形,那么∠EBC=∠C,结合三角形外交性质可证
∠ABE=2∠C,也就易得∠BAC=3∠C.
解答:证明:延长BP,交AC与E,
∵AD平分∠BAC,BP⊥AD,
∴∠BAP=∠EAP,∠APB=∠APE,
又∵AP=AP,
∴△ABP≌△AEP,
∴BP=PE,AE=AB,∠AEB=∠ABE,
∴BE=BP+PE=4,AE=AB=5,
∴CE=AC-AE=9-5=4,
∴CE=BE,
∴△BCE是等腰三角形,
∴∠EBC=∠C,
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC,
∴∠ABE=2∠C,
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C.
点评:本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质.关键是作辅助线,求证△BCE是等腰三角形.
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75
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(  )
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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16
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