Question

点P是等边三角形ABC内部一点，PA=3，PB=4，PC=5，则三角形ACP的面积是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：作出图形，把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，根据旋转的性质可得AD=PA，CD=PB，然后判断出△APD是等边三角形，利用勾股定理逆定理判断出△PCD是直角三角形，然后求出∠ADC=150°并求出四边形APCD的面积，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E，求出∠CDE=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CE=

1

2

CD，再求出△ACD的面积，然后求解即可．

解答：解：如图，把△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACD，
则AD=PA=3，CD=PB=4，
∴△APD是等边三角形，
∴PD=PA=3，
∵PD²+CD²=3²+4²=25，
PC²=5²=25，
∴PD²+CD²=PC²，
由勾股定理逆定理得，△PCD是直角三角形，
∴∠ADC=150°，
S_{四边形APCD}=S_△APD+S_△PCD=

1

2

×3×（3×

3

2

）+

1

2

×3×4=

9 3

4

+6，
过点C作CE⊥AD交AD的延长线于E，
则∠CDE=180°-∠ADC=180°-150°=30°，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

×4=2，
∴S_△ACD=

1

2

AD•CE=

1

2

×3×2=3，
∴S_△ACP=S_{四边形APCD}-S_△ACD=

9 3

4

+6-3=

9 3

4

+3．
故答案为：

9 3

4

+3．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，利用旋转作辅助线构造成等边三角形和直角三角形是解题的关键，难点在于考虑到并求出点C到AD的距离．