Question

（11·大连）（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别
为(0，2)、(－1，0)、(4，0)．P是线段OC上的一动点（点P与点O、C不重合），过点P
的直线x＝t与AC相交于点Q．设四边形ABPQ关于直线x＝t的对称的图形与△QPC重叠
部分的面积为S．
（1）点B关于直线x＝t的对称点B′的坐标为________；
（2）求S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）（2t＋1，0）…………………………2分
（2）① 如图，点B’在点C的左侧时，2t＋1＜4 解得t＜1.5


当0＜t＜1.5时，设点A关于直线x＝t的对称点A’，A’B’与AC相交于点D，
过点D作DE⊥x轴，垂足为E，PC＝4－t，B’C＝4－(2t＋1)＝3－2t……………………3分
设直线AC解析式为y＝kx＋b，
将A（0，2），C（4，0）分别代入解析式得，

由对称性可知，∠ABO＝∠DB’E，又∵∠AOB＝∠DEB’
∴△ABO∽△DB’E
②当1.5≤t＜4时，点B’在点C的右侧或与点C重合（如图2）


另外的解法：如图，当1.5≤t＜4时，重合部分为三角形△CPQ，如图2
∵△CPQ∽△COA，
∵ ，
即，
则PQ＝．
于是S_△QPC＝（4－t）＝（1.5＜t≤4），
如图当0＜t＜1.5时，重合部分为四边形DQPB’，

∵A点坐标为（0，2），
∴A′点坐标为（2t，2），
又∵B′点坐标为（2t＋1，0），
设直线A′B′解析式为y＝kx＋b，则将A′（2t，2），
和B′（2t＋1，0）分别代入解析式得，，
解得k＝－2，b＝2＋4t．
解析式为y＝－2x＋（2＋4t），
将y＝－x＋2和y＝－x＋（2＋4t）组成方程组得，
解得，
D点坐标为（8t，－4t＋2）．
由于B′坐标为（2t＋1，0），C点坐标为（4，0），
故B′C＝4－（2t＋1）＝3－2t，
S_△QPC＝（4－t）＝，
S_{四边形QPB′D}＝S_△QPC－S_△DB′C＝－（3－2t）（－4t＋2）＝－t²＋6t＋1（0＜t≤1.5）．

解析