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4.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21.动点P从点D出发,沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点P运动到点A时,点Q随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
(1)当t=2时,求△BPQ的面积;
(2)若四边形ABQP为平行四边形,求运动时间t;
(3)当t为何值时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形?

分析 (1)若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知:S=$\frac{1}{2}$PM×QB=96-6t;
(2)当四边形ABQP为平行四边形时,AP=BQ,即21-2t=16-t,可将t求出;
(3)本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出;
③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出.

解答 解:(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.

∴PM=DC=12,
∵QB=16-t,
∴S=$\frac{1}{2}$QB•PM=$\frac{1}{2}$(16-t)×12=96-6t(0≤t<16).
把t=2代入得到:S=96-12=84;

(2)当四边形ABQP是平行四边形时,AP=BQ,
即21-2t=16-t,
解得:t=5,
∴当t=5时,四边形ABQP是平行四边形.

(3)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况:
①若PQ=BQ,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得t=$\frac{7}{2}$;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2,即3t2-32t+144=0,
此时,△=(-32)2-4×3×144=-704<0,
所以此方程无解,∴BP≠BQ.
③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得t1=$\frac{16}{3}$,t2=16(不合题意,舍去).
综上所述,当t=$\frac{7}{2}$或t=$\frac{16}{3}$时,以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形.

点评 本题主要考查四边形综合题,注意梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用.在解题(3)时,应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象.

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