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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，Rt△AOB中，∠OAB=90°，以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，将△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限的点C处，已知B点坐标是（2
    		3
    ，2）；一个二次函数的图象经过O、C、A三个点．精英家教网
    （1）求此二次函数的解析式；
    （2）直线OC上是否存在点Q，使得△AQB的周长最小？若存在请求出Q点的坐标，若不存在请说明理由；
    （3）若抛物线的对称轴交OB于点D，设P为线段DB上一点，过P点作PM∥y轴交抛物线于点M，问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在请求出P点坐标，若不存在请说明理由．
    分析：（1）在Rt△AOB中，根据AB的长和∠BOA的度数，可求得OA的长，根据折叠的性质即可得到OA=OC，且∠BOC=∠BOA=30°，过C作CD⊥x轴于D，即可根据∠COD的度数和OC的长求得CD、OD的值，从而求出点C的坐标．将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求出待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式；
    （2）作出A关于OC的对称点，连接AA′，与OC的交点就是所求的点，求出OC与AA′的解析式，解方程组即可；
    （3）根据（2）所得抛物线的解析式可得到其顶点的坐标（即C点），设直线MP与x轴的交点为N，且PN=t，在Rt△OPN中，根据∠PON的度数，易得PN、ON的长，即可得到点P的坐标，然后根据点P的横坐标和抛物线的解析式可求得M点的纵坐标，过M作ME⊥CD（即抛物线对称轴）于E，过P作PQ⊥CD于Q，若四边形CDPM是等腰梯形，那么CE=QD，根据C、M、P、D四点纵坐标，易求得CE、QD的长，联立两式即可求出此时t的值，从而求得点P的坐标．
    解答：解：（1）过点C作CH⊥x轴，垂足为H；
    ∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
    ∴OB=4，OA=2
    		3
    ；
    由折叠的性质知：∠COB=30°，OC=AO=2
    		3
    ，
    ∴∠COH=60°，OH=
    		3
    ，CH=3；
    ∴C点坐标为（
    		3
    ，3）．
    ∵抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过C（
    		3
    ，3）、A（2
    		3
    ，0）两点，
    ∴
    3=3a+
    		3
    b
    0=12a+2
    		3
    b
    ，
    解得
    a=-1
    b=2
    		3
    ；
    ∴此抛物线的函数关系式为：y=-x2+2
    		3
    x．精英家教网

    （2）作A关于OC的对称点A′，BA′交OC于点Q．
    ∵B点坐标是(2
    		3
    ，2)
    ∴tan∠BOA=
    2
    2
    		3
    =
    		3
    3

    ∴∠BOA=30°
    ∴∠BOC=30°，
    ∴∠A′OC=∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°，
    ∴OA′与y轴的夹角是30°．
    又∵OA=OA′=2
    		3
    ，
    ∴A′的坐标是：（-
    		3
    ，3）
    设直线A′B的解析式是y=kx+b
    根据题意得：
    k=-
    		3
    9
    b=
    8
    3

    则直线A′B的解析式是y=-
    		3
    9
    x+
    8
    3
    ．
    直线OC的解析式是：y=
    		3
    x．
    解方程组：
    y=-
    		3
    9
    x+
    8
    3
    y=
    		3
    x
    解得：
    x=
    4
    		3
    5
    y=
    12
    5

    故Q的坐标是：（
    4
    		3
    5
    ，
    12
    5
    ）．
    （3）存在．
    因为y=-x2+2
    		3
    x的顶点坐标为（
    		3
    ，3），
    即为点C，MP⊥x轴，垂足为N，设PN=t；
    因为∠BOA=30°，
    所以ON=
    		3
    t，
    ∴P（
    		3
    t，t）；
    作PF⊥CD，垂足为F，ME⊥CD，垂足为E；
    把x=
    		3
    t代入y=-x2+2
    		3
    x，
    得y=-3t2+6t，
    ∴M（
    		3
    t，-3t2+6t），E（
    		3
    ，-3t2+6t），
    同理：F（
    		3
    ，t），D（
    		3
    ，1）；
    要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE=FD，
    即3-（-3t2+6t）=t-1，
    解得t=
    4
    3
    ，t=1（舍），
    ∴P点坐标为（
    4
    3
    		3
    ，
    4
    3
    ），
    ∴存在满足条件的P点，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点坐标为（
    4
    3
    		3
    ，
    4
    3
    ）．
    点评：此题主要考查了图形的旋转变化、解直角三角形、二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定和性质等重要知识点，难度较大
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    精英家教网如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）
    A、精英家教网B、精英家教网C、精英家教网D、精英家教网

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限．OA和AB的长是方程x2-3
    		5
    x+10=0    两根，且OA＜AB．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为E，设点C的坐标为（x，0）．
    ①是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
    ②设△CDE与△AOB重叠部分的面积为S，直接写出S与点C的横坐标x之间的函数关系式（包括自变量x的取值范围）．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠A=36°，以OB为半径作⊙O交AB于C，D为优弧BC上一点，求∠BDC的度数．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O为坐标原点，B在x轴正半轴上，A在第一象限，OA和AB的长是方程x2-3
    		5
    x+10=0    两根，且OA＜AB．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）将△AOB沿垂直于x轴的线段CD折叠（点C在x轴上，且不与点B重合，点D在线段AB上），使点B落在x轴上，对应点为E，是否存在这样的点C，使得△AED为直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，Rt△AOB中∠AOB=90°，点A在y=-
    4
    x
    上，点B在y=
    6
    x
    上，则
    OA
    OB
    =
    		6
    3
    		6
    3
    ．

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