【题目】已知:如图,以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E,过点D作DF⊥BC,垂足为F.(1)求证:DF为⊙O的切线;(2)若等边三角形ABC的边长为4,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
试题(1)连接DO,要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可;
(2)首先由已知可得到CD,CF的长,从而利用勾股定理可求得DF的长;再连接OE,求得CF,EF的长,从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积.
试题解析:
(1)证明:连接DO.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵OA=OD,
∴△OAD是等边三角形.
∴∠ADO=60°,
∵DF⊥BC,
∴∠CDF=90°﹣∠C=30°,
∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°,
∴DF为⊙O的切线;
(2)∵△OAD是等边三角形,
∴AD=AO=AB=2.
∴CD=AC﹣AD=2.
Rt△CDF中,
∵∠CDF=30°,
∴CF=CD=1.
∴DF=,
连接OE,则CE=2.
∴CF=1,
∴EF=1.
∴S直角梯形FDOE=(EF+OD)DF=,
∴S扇形OED==,
∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣.
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【题目】某种气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.当气球内气体的气压大于150kPa时,气球将爆炸.为了安全,气体体积V应该是( )
A.小于0.64m3 B.大于0.64m3 C.不小于0.64m3 D.不大于0.64m3
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【题目】如图,△ABC中,∠C=Rt∠,AC=6,BC=8,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB,BC分别交于点E,D,则BE的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知△ABC为直角三角形,∠C=90°,边BC是⊙O的切线,切点为D,AB经过圆心O并与圆相交于点E,连接AD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若AC=8,tan∠DAC=,求⊙O的半径.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H.点G在⊙O上,过点G作直线EF,交CD延长线于点E,交AB的延长线于点F.连接AG交CD于K,且KE=GE.
(1)判断直线EF与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AC∥EF,,FB=1,求⊙O的半径.
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【题目】如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C,点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,CE+EF的最小值是( )
A. 1.4 B. 2.5 C. 2.8 D. 3
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【题目】如图所示,网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”,图中的△ABC是格点三角形.在建立平面直角坐标系后,点B的坐标为(-1,-1).
(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1,写出点A1,B1,C1的坐标,并画出△A1B1C1;
(2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2,写出点A2,B2,C2的坐标,并画出△A2B2C2;
(3)把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3,使放大前后对应线段的比为1∶2,写出点A3,B3,C3的坐标,并画出△A3B3C3.
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【题目】如图,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c,已知足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?
(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点P0的坐标为(2,0),将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1,延长OP1到点P2,使OP2=2OP1,再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3,则点P3的坐标是_____.
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