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    如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1．
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    （1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A、B两点，记为抛物线l2，求抛物线l2的函数表达式；
    （2）设抛物线l2的顶点为C，请你判断y轴上是否存在点K，使得∠BKC=90°，若存在，求出K点坐标，若不存在，请说明理由；
    （3）抛物线l2与y轴交于点D，点P是线段BD上的一个动点，过点P，作y轴的平行线，交抛物线l2于点E，求线段PE长度的最大值．
    分析：（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为1，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，即可由交点式表示出平移后的抛物线解析式；
    （2）假设存在这样的K点，过C作CG⊥y轴于G，若∠BGC=90°，可证得△OKB∽△GCK，通过相似三角形得到的比例线段即可求出OK的长，也就能得到K点的坐标；
    （3）易求得直线BD的解析式，可设出P点的横坐标，根据直线BD和抛物线l2的解析式，可表示出P、E的纵坐标，进而可表示出PE的长，由此可得到关于PE的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求得PE的最大值．
    解答：解：（1）∵抛物线l2经过A（-1，0），B（3，0）
    ∴设抛物线l2的解析式为：y=a（x+1）（x-3）…（1分）
    ∵抛物线l2是由y=x2平移得到，
    ∴a=1
    ∴抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3…（2分）

    （2）存在点K…（3分）
    ∵抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3，
    ∴y=（x-1）2-4，
    ∴抛物线l2的顶点坐标为（1，-4）
    过点C作CG垂直于y轴，垂足为G
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    若∠OKB+∠GKC=90°
    则∠BKC=90°，∠OBK=∠GKC
    ∴△OKB∽△GCK，
    ∴
    OB
    OK
    =
    GK
    GC
    ，
    ∴
    3
    OK
    =
    4-OK
    1
    ；
    解之得：OK=1，或OK=3
    ∴点K坐标为（0，-1）或（0，-3）…（4分）

    （3）抛物线l2与y轴交于点D，抛物线l2的函数表达式：y=x2-2x-3
    ∴点D坐标为（0，-3），
    ∴设直线BD的解析式为：y=kx+b
    将B（3，0），D（0，-3）代入y=kx+b
    得：
    3k+b=0
    b=-3

    ∴解之得：
    k=1
    b=-3
    ；
    ∴解析式为：y=x-3…（5分）
    ∵点P是线段BD上的一个动点，
    ∴点P坐标为（x，x-3）
    ∵PE平行于y轴，且点E在抛物线l2上，
    ∴点E坐标为（x，x2-2x-3）
    线段PE的长度为|x2-2x-3|-|x-3|
    则PE=-x2+3x=-(x-
    3
    2
    )2+
    9
    4

    ∴线段PE长度的最大值
    9
    4
    …（6分）
    点评：此题考查了二次函数图象的平移、相似三角形的判定和性质以及二次函数的应用等知识，能够将线段PE的长转换为二次函数求最值的问题是解答（3）题的关键．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    5
    5
    ．

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    k
    x
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    k
    x
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    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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