Question

如图，锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D和E，AP∥BC且与BE的延长线交于点P，又边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-x+

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4

（4m²-4m+2）=0的两个根．
（1）求证：△APF∽△DBF
（2）求证：一元二次方程x²-x+

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4

（4m²-4m+2）=0有两个相等的实数根，并解这个方程．
（3）若AF：FD=2，那么四边形ABCP是否是菱形？若是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据平行线性质得出∠APF=∠FBD，∠PAF=∠BDF，根据相似三角形的判定定理推出即可；
（2）求出△=-（2m-1）²≥0，根据一个数的平方的非负性得出-（2m-1）²=0，即△=0，得出方程有两个相等的实数根，代入求出方程的解即可；
（3）根据等腰三角形性质求出BC=2BD，根据△APF和△DBF相似得出比例式求出AP=2BD，推出BC=AP，得出平行四边形ABCP，根据菱形的判定推出即可．

解答：（1）证明：∵AP∥BC，
∴∠APF=∠FBD，∠PAF=∠BDF，
∴△APF∽△DBF；

（2）证明：△=（-1）²-4×1×

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4

（4m²-4m+2）
=-4m²+4m-1
=-（2m-1）²，
∵方程有根，
∴-（2m-1）²≥0，
∴2m-1=0，
解得：m=

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2

，
即△=0，
∴一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0有两个相等的实数根，
把m=

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2

代入方程得：x²-x+

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4

=0，
解得：x₁=x₂=

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2

；

（3）解：四边形ABCP是菱形，
理由是：∵边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-x+

1

4

（4m²-4m+2）=0的两个根．
∴AB=AC=

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2

，
∵AD⊥BC，
∴BC=2BD，
∵△APF∽△DBF，AF：DF=2，
∴

AP

BD

=

AF

FD

=2，
∴AP=2BD，
∴AP=BC，
∵AP∥BC，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵BE⊥AC，
∴平行四边形ABCP是菱形．

点评：本题考查的知识点有相似三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、平行线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、根的判别式、解一元二次方程等，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．