Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC=90°+∠A；②EF不可能是△ABC的中位线；③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn；④以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．其中正确结论的个数是（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer 1

【答案】分析：由角平分线的性质与三角形的内角和定理，即可求得①∠BOC=90°+∠A正确；又有特殊三角形（等边三角形）的三线合一性质，可得EF可以是△ABC的中位线，确定②错误；然后根据角平分线的性质与面积的求解方法，即可得S_△AEF=mn；首先证得△OBE与△OCF是等腰三角形，根据圆与圆的位置关系，即可得以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．继而求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=90°+∠A；故①正确；
若△ABC是等边三角形，则三线合一，此时EF是△ABC的中位线；故②错误；
连接AO，过点O作OH⊥AB于H，
∴AO是△ABC的角平分线，
∵OD⊥AC，
∴OH=OD=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=AE•OH+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn；故③错误；
④∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠FOC=∠OCB，
∵∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO，
∴BE=EO，CF=FO，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切．故④正确．
故选B．
点评：此题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及圆与圆的位置关系等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．