Question

20．已知：关于x方程$\frac{x}{x+1}$+$\frac{x+1}{x}$=$\frac{4x+k}{{x}^{2}+x}$有且仅有一个实数根，则k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$或1
• C． $\frac{1}{2}$或5或1
• D． $\frac{1}{2}$或5或-2

Answer 1

分析 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可．

解答 解：分式方程去分母得：x²+x²+2x+1=4x+k，
即2x²-2x+1-k=0，
由分式方程有且仅有一个实数根，可得整式方程中△=4-8（1-k）=0，
解得：k=$\frac{1}{2}$；
若整式方程中△＞0，则
当增根为x=0时，代入整式方程可得：1-k=0，
即k=1，
此时，方程2x²-2x=0的解为x₁=1，x₂=0（不合题意）；
当增根为x=-1时，代入整式方程可得：5-k=0，
即k=5，
此时，方程2x²-2x-4=0的解为x₁=2，x₂=-1（不合题意）；
综上所述，k的值为$\frac{1}{2}$或5或1，
故选：C．

点评 此题考查了分式方程的解，解题时注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．