Question

已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC=

3

5

时，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵AB=BC且D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABE=∠DBE，
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠DBE，
∴OE∥BD，
∵BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径，
∴AC与⊙O相切．

（2）∵BD=6，sinC=

3

5

，BD⊥AC，
∴BC=10，
∴AB=BC=10，
设⊙O 的半径为r，则AO=10-r，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A，
∴sinA=sinC=

3

5

，
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC，
∴sinA=

OE

OA

=

r

10-r

=

3

5

，
∴r=

15

4

，
答：⊙O的半径是

15

4

…