Question

如图①，已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角三角形CDE，连接AD，那么AD∥BC吗？（直接回答，不用过程）
如图②，若三角形ABC为任意等腰三角形AB=AC，E为AB上任意一点，△ABC∽△DEC．连接AD，那么AD∥BC吗？若平行，请证明．若不平行，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证AD∥BC，只需证∠DAC=∠ACB，由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，所以∠DCE=∠ACB，所以∠DCA=∠ECB，又因为

DC

EC

=

1

2

，

AC

BC

=

1

2

，∴

DC

EC

=

AC

BC

，所以△ADC∽△DCE，所以∠DAC=∠B，所以∠DAC=∠ACB．
（2）要证AD∥BC，只需证∠DAC=∠ACB，同（1）的证明思路类似，由于△ABC∽△DEC，∴

DC

EC

=

AC

BC

，∠DCE=∠ACB，所以∠DCA=∠ECB，所以△ADC∽△DCB，所以∠DAC=∠B，所以∠DAC=∠ACB，所以AD∥BC．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，

AC

BC

=

1

2

，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=∠DCE=45°，

DC

EC

=

1

2

，
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴

DC

EC

=

AC

BC

，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）平行．
∵△ABC∽△DEC，
∴

DC

EC

=

AC

BC

，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠DAC=∠B=∠ACB，
∴AD∥BC．

点评：本题结合等腰三角形的性质，考查三角形的相似，利用相似三角形的性质，证得角相等，从而证得两直线平行，一般此类题目包括多个问题，涉及图形也不同，但题目的证明思路常常具有共性，做题时应注意体会．