Question

已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm．动点Q从点A出发沿AC向终点C匀速运动，速度2cm/s；同时，点P从点B出发沿BA向终点A匀速运动，速度1cm/s；
（1）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？
（2）当t为何值时，△APQ为等腰三角形？

Answer 1

考点：相似三角形的判定,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）根据勾股定理计算出AC=5，再利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当

AQ

AC

=

AP

AB

时，△AQP∽△ACB，即

2t

5

=

3-t

3

；当

AQ

AB

=

AP

AC

，△AQP∽△ABC，即

2t

3

=

3-t

5

，然后分别利用比例的性质求t的值；
（2）分类讨论：当AQ=AP时，2t=3-t，易得t=1（s）；当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，根据等腰三角形的性质得AM=MQ=t，再证明△AMP∽△ABC，利用相似比得到

t

3

=

3-t

5

，然后解方程求出t的值；当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，根据等腰三角形的性质得AN=BN=

1

2

（3-t），再证明△ANQ∽△ABC，利用相似比得

2t

5

=

1 2 (3-t)

3

，然后解方程求出t的值．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠A=∠A，
∴当

AQ

AC

=

AP

AB

时，△AQP∽△ACB，即

2t

5

=

3-t

3

，解得t=

15

11

（s）；
当

AQ

AB

=

AP

AC

，△AQP∽△ABC，即

2t

3

=

3-t

5

，解得t=

9

13

（s）；
∴当t为

15

11

s或

9

13

s时，△APQ与△ABC相似；
（2）当AQ=AP时，2t=3-t，解得t=1（s）；
当PA=PQ时，作PM⊥AQ于M，如图1，则AM=MQ=t，
∵∠MAP=∠BAC，
∴△AMP∽△ABC，
∴

AM

AB

=

AP

AC

，即

t

3

=

3-t

5

，解得t=

9

8

（s）；
当QA=QP时，作QN⊥AP于N，如图2，则AN=PN=

1

2

（3-t），
QN∥BC，
∴△ANQ∽△ABC，
∴

AQ

AC

=

AN

AB

，即

2t

5

=

1 2 (3-t)

3

，解得t=

15

17

（s），
∴当t为1s或

9

8

s或

15

17

s，△APQ为等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．也考查了等腰三角形的判定与性质．