Question

14．如图所示，⊙O的两条直径AB⊥CD，M，N分别是半径OD，OB上的点，且OM=ON，AM，NM的延长线分别交DN，DA于G，E，求证：AG•ND=AD•NE=AN•OC．

Answer 1

分析 根据垂直的定义得到∠AOD=∠DOB=90°，根据等腰直角三角形的性质得到∠EMD=∠OMN=45°得到NE⊥AD，推出AG⊥ND，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵AB⊥CD，
∴∠AOD=∠DOB=90°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∵OM=ON，
∴∠OMN=45°，
∴∠EMD=∠OMN=45°，
∴在△EMD中，
∵∠MED=180°-45°-45°=90°，
即NE⊥AD，
∵DO⊥AB，
∴M为△AND垂心，
∴AG⊥ND，
∴S_△AND=$\frac{1}{2}$AG•ND=$\frac{1}{2}$AD•NE=$\frac{1}{2}$AN•OD，
∴AG•ND=AD•NE=AN•OD，
∵OC=OD，
∴AG•ND=AD•NE=AN•OD．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的垂心，三角形的面积公式，正确的识别图形是解题的关键．